LA ESTRELLA PITAGÓRICA (SOLUCIÓN)

         Este problemilla es un pequeño homenaje al número áureo, de oro o mágico y al estudio de figuras semejantes:

         Hemos de partir de unos pequeños conocimientos previos.
         1) Si dibujamos la estrella pitagórica uniendo los vértices de un pentágono regular, se cumplen las siguientes relaciones:

los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado, están relacionados por el número aúreo  Ф, siendo Ф =  ( 1 + √5 ) / 2 = 1.618033989 aproximadamente, ya que es un número irracional de infinitas cifras decimales que no se repiten. 
                        Rojo/Azul = Ф, Azul/Verde = Ф, Verde/Morado = Ф

         2) La relación entre el lado de la estrella pitagórica y del pentágono

                                              es también b / a =  Ф.

           3) El área de un triángulo es:

                       A = b.h / 2

           4) El área de un pentágono regular en función de su lado es:                           

                    (véase Polígono Regular en Wikipedia, la enciclopedia libre)

            A =  ( 5L² / 4 ) . ( tan (3π / 10)) = ( 5L² / 4 ) . ( tan 27º)

           

           5) Con estas relaciones, viendo que las figuras coloreadas de la misma forma son semejantes y paciencia podemos calcular las distintas áreas.

        lado del pentágono verde =  5 / Ф³

        lado del pentágono azul claro = 5 / Ф⁴      

        lado del pentágono fucsia  = 5 / Ф⁵  

        lado mayor del triángulo rojo =  5 / Ф²

        lado mayor del triángulo verde oscuro =  5 / Ф²     

        lado mayor del triángulo azul oscuro = 5 / Ф³

        lado del triángulo amarilllo = 5 / Ф⁴

            ^{Así, pues las distintas áreas son:
             Área del pentágono  verde}    

           A  = ( 5L² / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф⁶) . ( tan 27º) 

      Área del pentágono azul claro  

      A = ( 5L² / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф⁸) . ( tan 27º)

        Área del pentágono fucsia              

     A = ( 5L² / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф¹⁰) . ( tan 27º)

     Área roja = 5. área del triángulo rojo 

        A =5.b.h / 2 = 5.( 5 / Ф³ ). ( 5 . √ ( 4 Ф² – 1 ) / 2 Ф³ = 125 . √ ( 4 Ф² – 1 ) / 2 Ф⁶

       Área verde oscura = 10. área del triángulo verde oscuro 

       A =  10. ( 5 / Ф² ). 5 √( 4Ф – 1 ) / 2Ф² =125 . √ ( 4Ф – 1 ) /  Ф⁴  

       Área azul oscura = 25 . área del triángulo azul oscuro         

       A = 5 . ( 5 / Ф⁴ ). ( 5 . √ ( 4 Ф² – 1 ) / 2 Ф⁴ = 625 . √ ( 4 Ф² – 1 ) / 2 Ф⁸

       Área amarilla = 25. área del triángulo amarillo 
       A = 25 . ( 5 / Ф⁵ ). ( 5 . √ ( 4 Ф² – 1 ) / 2 Ф⁵ = 625 . √ ( 4 Ф² – 1 ) / 2 Ф¹⁰

            Para un estudio más detallado de la presencia del número de oro, áureo o mágico, en nuestra vida os recomiendo la siguiente página:
         http://www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/MAIC/actividades/conferencias/conferencias/11.Numero%20de%20oro.pdf